GIẢI NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 TẬP 1, NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 TẬP 1

nâng cấp và cải cách và phát triển toán 8 tập 1 (tái bản lần máy mười) vũ hữu bình NXB giáo dục vn 2,923 6
QUY ĐỊNH CỦA PHÁP LUẬT TỐ TỤNG HÌNH SỰ VỀ ĐỊA VỊ PHÁP LÝ CỦA NGƯỜI BỊ TẠM GIỮ, BỊ CAN, BỊ CÁO TỪ NĂM 1988 ĐẾN NĂM
QUY ĐỊNH CỦA PHÁP LUẬT TỐ TỤNG HÌNH SỰ VỀ ĐỊA VỊ PHÁP LÝ CỦA NGƯỜI BỊ TẠM GIỮ, BỊ CAN, BỊ CÁO TỪ NĂM 1988 ĐẾN NĂM 123 20,000 5,000
tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị phân chia và thêm 5 vào số chia thì thương cùng số dư ko đổi.. 35.

Bạn đang xem: Giải nâng cao và phát triển toán 6

(1) VŨ HỮU BÌNH (2)PHẦN SỐ HỌC : Phần I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Chương 1. ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN §1 : Tập đúng theo số thoải mái và tự nhiên tư tưởng tập hợp định nghĩa , ta đọc tập đúng theo thơng qua lấy ví dụ ( xem qua loa tập hòa hợp phần siêng đề) Tập phù hợp số 0; 1; 2; 3; call tập thích hợp  số thoải mái và tự nhiên Ta khẳng định  số đồ vật tựnhư sau: a) số từ bỏ nhiên nhỏ dại nhất; b) ab chỉkhi điểm a ởbên trái điểm b tia số Để thuận tiện ghi đọc số tự nhiên, fan ta dùng hệ ghi số: đơn vị chức năng số định hàng, ta cố gắng số đơn vị chức năng hàng ngay thức thì trước Hệ ghi sốthường sử dụng hệ thập phân trong hệ thập phân, người ta dùng mười kí hiệu để ghi số, chữ số 0; 1; 2; ;9 mười đơn vị chức năng một mặt hàng ta làm cho thành đối kháng vịở hàng liền trước trong hệ thập phân, ta bao gồm : 1000 100 10 abcd = a+ b+ c+d 1 1 10 1.10 2.10 1.10 0.10 n n n n n n a a − a a a a =a +a − − + +a +a +a Ví dụ1 Viết tập hợp sau kiếm tìm số bộ phận tập phù hợp đó: a) Tập vừa lòng A số tự nhiên và thoải mái x mà lại :x=2 b) Tập hợp B số tự nhiên x nhưng mà x+ x cơ mà x: 2=x: e) Tập hợp E số tự nhiên và thoải mái x mà lại x+ =0 x Giải : a) A= 4 , có phần tử b) B= 0;1 , có hai thành phần c) C = ∅, khơng có phần tử d) D = 0 có phần tử e) E=0; 1; 2; 3; , gồm vơ số thành phần ( E ) Ví dụ2 Viết tập vừa lòng sau giải pháp liệt kê bộ phận nó: a) Tập đúng theo A số thoải mái và tự nhiên có hai chữ số, chữ số sản phẩm chũ lớn hơn chữ sốhàng đơn vị b) Tập hợp B số tự nhiên và thoải mái có ba chữ số nhưng mà tổng chữ sốbằng Giải: a) A=97; 86; 75; 64; 53; 42; 31; 20 b) B=300; 201; 210; 102; 111; 120 Ví dụ 3: Tìm số thoải mái và tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số khủng gấp cha lần số có cách viết thêm chữ số2 vào đằng trước sốđó Giải phương pháp 1: điện thoại tư vấn số đề xuất tìm lad abcde, ta có phép nhân: 3 abcde abcde × Lần lượt tra cứu chữ số số bị thánh thiện phải sang trọng trái: 3e tận bắt buộc 4 e= , ta tất cả 3.4=12, lưu giữ sang hàng chục; 3 chiều +1tận nênd =1 ; 3c tận buộc phải c=7, ta có 3.7 =21, lưu giữ sang hàng trăm ; (4)Ta : 285714 857142 × biện pháp Đặt abcde= x, ta có abcde2=3.2abcde tốt 10x+ =2 200000( +x) 10x+ =2 600000+3x 7x=599998 x=85714 Số buộc phải tìm 85714 chăm chú : 1) khai quật cách giải 1, ta tất cả tốn : tìm số tự nhiên nhỏ tuổi có chữ sốđầu tiên ởbên trái 2, gửi chữ số xuống cuối sốđó tăng gấp bố lần Giải : Gọi số buộc phải tìm a an n−1an−2 a a2 1, an =2, ta tất cả : 1 2 1 2 2 n n n n a a a a a a a a − − − − × Giải cách thường xuyên chữ số số bị nhân giới hạn lại, ta số nhỏ tuổi phải search 285714 2) khai quật cách giải 2, ta tất cả tốn tổng qt : tìm kiếm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số mập gấp ba lần số bao gồm viết thêm chữ số vào đằng trước số Giải :Đặt abcde= x, hotline y chữ số viết thêm vào, ta có: ( ) 3 10 100000 7 299999 42857 abcdey yabcde x y y x x y x y = + = + (5) do x có năm chữ số cần y 2 cùng với y =1 ta có 42857 x= ; với y =2 ta bao gồm x=85714 BÀI TẬP 1 Các tập đúng theo A B C D, , , mang đến sơ đồ gia dụng sau ( h.1) Viết tập hợp A; B; C; D cách liệt kê phần tử tập thích hợp 2 Hãy khẳng định tập vừa lòng sau cách đặc thù đắc trưng bộ phận thuộc tập thích hợp đó: a) A=1;3;5;7; ;49 b) B=11;22;33;44; ;99 c) C = tháng1; mon 3; mon 5; mon 7; tháng 8; tháng 10; mon 12 3 Tìm tập thích hợp số từ nhiênx, cho: a) x+ =3 b )8 – 5x= c) x: 2=0 d) :x=0 e)5 12x= 4 Tìm số tự nhiên và thoải mái a b,sao cho: 12a b 16 5 Viết số tự nhiên có tứ chữ số gồm hai chữ số 3, số chữ số 6 Với nhị chữ số I X, viết số La Mã ? (mỗi chữ số viết các lần, khơng viết liên tiếp ba lần) 7 a)Dùng bố que diên, xếp dược số La Mã nào? Hình 1 D C A B c a b m n 1 3 2 (6) b) Để viết số La Mã tự 4000 trở lên, chẳng hạn số 19520, fan ta viết
XIXm
A cất số phân chia hết đến 2,B chứa số phân chia hết mang lại 3,E đựng số tự nhiên và thoải mái từ 10 mang lại 24 bởi vậy miền gạch ốp sọc cất số chia hết hết mang lại số những số không phân chia hết cho không phân tách hết mang lại 3 trực thuộc miền để trắng, Sự minh họa giúp ta hiểu rõ toán hơn, thấy rõ tình dục giữa tập đúng theo số chia hết mang đến 2, phân chia hết đến phạm vi tự 10 Hình Tập hợp khái niệm khơng tư tưởng Ví dụ : Tập phù hợp số từ bỏ nhiên nhỏ 10, tập hợp học sinh lớp, tập thích hợp chữ dòng, tập hợp chữ dòng, tập phù hợp điểm nằm nhì điểm A B Một đối dượng (người, vật, số, hình,…) tập hợp thành phần của tập hòa hợp Để minh họa tập hợp, fan ta vẽ con đường cong kín đáo không tự cắt, thành phần tập hợp màn biểu diễn điểm mặt đường (xem hình 4) Sơ đồ mang tên bên toán học Anh Ven (1834-1923), tín đồ đưa bí quyết biểu tập hòa hợp Để thuận tiện, ta gật đầu trường hòa hợp tập hợp khơng chứa thành phần cả, tập hợp điện thoại tư vấn tập đúng theo rỗng kí hiệu ∅ Ví dụ: tập 3 , , A B E 3 24 E A B 22 đôi mươi 16 14 10 24 12 18 21 19 15 (64)Trên hình , ta thấy phần tử tập hợp A thành phần tập đúng theo E, thành phần tập phù hợp B phần tử tập hợp E Ta nói A tập phù hợp E B, tập tập thích hợp E , kí hiệu A⊂E B, ⊂E Ví dụ: Tập vừa lòng số lẻ tập phù hợp tập thích hợp số tự nhiên Ta quy cầu tập vừa lòng rỗng tập hợp tập thích hợp Đương nhiên, tập phù hợp tập hợp tập vừa lòng Ví dụ50 (1). đến tập hợp: A=a, b, c, d, e a) Viết tập hòa hợp có bộ phận b) Viết tập hợp A tất cả hai thành phần c) bao gồm tập phù hợp A có tía phần tử? d) gồm tập thích hợp A tất cả bốn phần tử? e) Tập hợp A bao gồm tập phù hợp con? Giải: a) các tập thích hợp A gồm phần tửlà: a , b , c , d , e b) các tập đúng theo A bao gồm hai phần tửlà: a,b , a c, , a d, , a e, , b c, , b d, , b e, , c d, , c e, , d e, c) Ta gồm nhận xét: gồm tập hòa hợp A gồm hai phần tửthì có nhiêu tập hợp A tất cả ba phần tử việc lấy đi hai bộ phận A ứng với việc để lại ba bộ phận A.Chẳng hạn: Tập hòa hợp a b, ứng với tập đúng theo c d e, , bao gồm 10 tập phù hợp A gồm hai phần tử Do có 10 tập vừa lòng A tất cả ba thành phần d) bao gồm tập vừa lòng A bao gồm hai bộ phận Do đó, với dìm xét giống như ởcâu c, gồm tập hợp A có bốn thành phần e) các tập hợp gồm những: (65)- Tập hòa hợp rỗng (khơng có phần tử nào); - những tập hợp bao gồm phần tử: tập hợp; - những tập hợp tất cả hai phần tử: 10 tập hợp; - những tập vừa lòng có cha phần tử: 10 tập hợp; - những tập hợp tất cả bốn phần tử: tập hợp; - chủ yếu tập phù hợp A (có năm phần tử) Vậy số tập hợp A là: 1 10 10 32.+ + + + + = Chú ý: người ta chứng minh rằng: nếu như tập hợp có n bộ phận số tập phù hợp 2n II – những phép toán tập hợp: Xét tập thích hợp A, B, E ởhình 4, ta có: A = 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24 B = 12; 15; 18; 21; 24 C = 10; 11; 12; ; 23; 24 các số phân tách hết mang lại số thuộc miền gạch ốp sọc chấm chấm Đó thích hợp A và
B, kí hiệu A∪B Ta có: A∪ =B 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24 phù hợp hai tập đúng theo gồm bộ phận thuộc hai tập hợp đó x A∈ ∪ ⇔ ∈B x A hc x B∈ những số vừa phân tách hết mang lại 2, vừa chia hết mang đến thuộc miền chấm chấm Đó giao hai tập đúng theo A B, kí hiệu A∩B Ta bao gồm A∩ =B 12,18, 24 Giao nhì tập hòa hợp tập hợp gồm phần tử chung nhị tập hợp ∈ ∩ ⇔ ∈ ∈ (66)Ta thấy số phân tử A m , số phân tử B n, số phân tử A∩B p số phân tử A∪B làm cho + – n p Trường vừa lòng A∩ = ∅B số phân tử A∪B m .+ n Ví dụ 51(7). gọi A tập phù hợp số tự nhiên khác0 , bé dại hơn30, chia hết cho3; B tập đúng theo số tự nhiên và thoải mái khác0, nhỏhơn30, chia hết đến 9; C tập phù hợp số tự nhiên và thoải mái khác , nhỏhơn 30, chia hết mang lại a) Tìm thành phần B∪C, A∩C, B∩C b) Hãy khẳng định tập thích hợp A∪B, A∩B c) Trong cha tập hợp A B C, , tập đúng theo tập hợp hai tập thích hợp lại? Giải: a) A=3;6;9;12;15;18; 21; 24; 27 , 9;18; 27 , = B 5;10;15; 20; 25 = C 5;9;10;15;18; 20; 25; 27 , ∪ = B C 15 , ∩ = ∩ = ∅ A C B C b) A∪ =B A A, ∩ =B B c) B⊂ A Ví dụ 52(7). có số tự nhiên có nhì chữ số, khơng phân tách hết mang đến số nào hai số và5 ? tìm tổng chúng (67)Hình a) call A tập hòa hợp số tự nhiên và thoải mái chia hết đến 3 gồm hai chữ số, B tập vừa lòng số tự nhiên và thoải mái chia hết mang đến 5 bao gồm hai chữ số, E tập thích hợp số thoải mái và tự nhiên có nhị chữ số những số tự nhiên có nhì chữ số 10, 11, …, 99 tất cả 90 số (số phần tử của
E ) Trong gồm 30 số chia hết mang lại (số phân tử của
A ), 18 số chia hết mang đến (số phân tử của
B ), số phân tách hết mang lại đồng thời cùng (số bộ phận A∩B) các số chia hết đến hai số gồm: 30 18 6+ − =42(số) (số thành phần A∪B) b) Tổng số tự nhiên và thoải mái có nhì chữ số khơng chia hết mang lại số hai số 3 S S= −1 (S2+ −S3 S ,4) đó: 1 S tổng số tất cả hai chữ số (tổng số trực thuộc E), 2 S tổng số phân chia hết cho có hai chữ số (tổng số nằm trong A), 3 S tổng số phân tách hết cho bao gồm hai chữ số (tổng số thuộc B), 4 S tổng số phân tách hết cho đồng thời bao gồm hai chữ số (tổng số ở trong A∩B) Ta có: ( ) ( ) 10 99 90 12 99 30 4905, 1665 2 + + = = = = S S ( ) ( ) 3 10 95 18 15 90 945, 315 2 + + = = = = S S vì chưng đó: = −( + − )= B (68) Ta tất cả : ( ) ( ) 10 99 90 12 99 30 4905, 1665, 2 S = + = S = + = ( ) ( ) 3 10 95 18 10 99 90 945, 315 2 S = + = S = + = do đó:S =4905−(1665 945 315+ − )=2610 III nhị tập hòa hợp nhau trường hợp A tập đúng theo B B tập A nhị tập hòa hợp A B bằng nhau, kí hiệu: A=B Ví dụ: tập hòa hợp số chẵn phân tách hết mang lại 5, B tập vừa lòng số có tận thuộc A=a b c, , ,B=b a c, , Như vậy, để chứng tỏ A=B ta chứng minh: cùng với x trực thuộc A x trực thuộc với c thuộc x ở trong Ví dụ53(7). cho a b nhị số tự nhiên tập hòa hợp ước bình thường a và b, tập phù hợp ước bình thường 7a+5b và4a+3b minh chứng rằng: a) A=B b) ( ) (a b, = 7a+5 , 4b a+3b) Giải: a) cách 1: gọi d ÖC a b∈ ( , ) , ta minh chứng (7 , a ) ∈ + + d ÖC a b b thật vậy, a b phân chia hết cho d phải (7a+5b)chia hết mang đến d, (4a+3b) chia hết mang lại d cách 2: gọi d′∈ÖC a(7 +5 , 4b a+3b) Ta minh chứng d ÖC a b′∈ ( , ) thật vậy, 7a+5bvà 4a+3b phân tách hết mang đến d′ nên khử b, ta được: ( ) ( ) 3 7a+5b −5 4a+3b phân chia hết mang lại d′, tức a phân tách hết mang đến d′ Khử a, ta được: 4( a+3b) (−4 7a+5b)chia hết mang lại d′, tức b phân chia hết đến d′ Vậy d ÖC a b′∈ ( , ) bước 3: kết luận A B B A (69)b) Ta gồm A=B, cần số lớn thuộc số to thuộc , tức ( ) (a b, = 7a+5 ,b 4a+3b) BÀI TẬP 262 (5). các tập đúng theo sau cho biện pháp rõ đặc thù đặc trưng phần tử Hãy viết tập hợp giải pháp liệt kê phần tử nó: a) A=x∈ ; số yếu tắc nhỏhơn 10 ; b) B= ∈x ; số bao gồm hai chữ số, chữ số hàng trăm gấp bố chữ sốhàng đơn vị ; c) C=x∈ ; x ước 10 ; 263 (5). Hãy viết tập vừa lòng sau cách rõ tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập hòa hợp đó: a) A=1; 4;9;16; 25;36; 49; b) B=1; 7;13;19; 25;31;37; c) C=2; 6;12; 20;30 264 (1). cho tập hợp: 1; 2;3; ; 3; 4;5 = = A B Viết tập đúng theo vừa tập vừa lòng A , vừa tập hợp
B 265 (1). cho A=a b c, , tra cứu tất tập vừa lòng của
A 266 (1). Ta điện thoại tư vấn A tập vừa lòng thực B A B⊂ A B≠ Hãy viết tập phù hợp thực tập vừa lòng B=1; 2;3 267 (1). đến tập vừa lòng A=1; 2;3; 4 a) Viết tập hòa hợp A mà thành phần số chẵn b) Viết tập hợp A 268(1). minh chứng A B B D⊂ , ⊂ A D⊂ (70)a) phân tách hết mang lại mà không chia hết đến 3? b) phân chia hết mang đến môt nhị số 3? c) Không phân chia hết mang lại không phân tách hết mang lại 3? 270(7). vào số tự nhiên và thoải mái từ1 cho 1000, gồm số: a) chia hết đến số 2, 3, 5? b) Không phân tách hết cho tất số tự nhiên từ cho 5? 271(7). Kết khảo sát lớp học mang đến thấy: tất cả 20 học viên thích láng đá, 17 học viên thích bơi, 36 học sinh thích nhẵn chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học viên thích tập bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích đá bóng bóng chuyền, 10 học viên thích bố mơn, 12 học sinh khơng mê thích mơn Tính xem lớp học có học sinh? 272(7). vào 100 học sinh có 75 học viên thích tốn, 60 học sinh thích văn a) nếu có học sinh khơng mê say cảtốn văn Hỏi có học viên thích cảhai mơn Văn Tốn b) có tương đối nhiều học sinh thích hợp cảhai mơn Tốn Văn? c) Có học sinh thích cảhai mơn Văn Tốn? 273(7). Tổng kết đợt thi đua “100 điểm 10 dâng tặng thầy cô”, lớp 6A gồm 43 chúng ta từ điểm 10 trởlên, 39 bạn từ2 điểm 10 trở lên, 14 các bạn từ điểm 10 trởlên, các bạn điểm 10, khơng bao gồm điểm 10 Tính xem trong dịp thi đua đó, lớp 6A tất cả điểm 10? 274(1). tìm kiếm tập thích hợp tập phù hợp sau: a) A=9;5;3;1; ; b) B tập số tự nhiên x cơ mà x=0; c) C tập số lẻ nhỏhơn 10; d)D tập vừa lòng số tự nhiên x nhưng mà x: 0= 275(1). mang đến tập hợp: A tập hợp hình chữ nhật tất cả chiều dài 18m, chiều rộng 10m B tập hợp hình chữ nhật bao gồm chu vi 56m (71)a) trong tập thích hợp trên, có tập phù hợp tập hòa hợp tập phù hợp khác? b) vào tập phù hợp trên, có hai tập hợp nhau? 276(5). điện thoại tư vấn A tập thích hợp số tự nhiên và thoải mái có tía chữ số chữ số hàng chục tổng chữ sốhàng trăm chữ sốhàng đối kháng vị, B tập phù hợp số phân chia hết đến 11 có bố chữ số nhì tập hòa hợp A B bao gồm khơng? 277(7). mang đến a b, ∈N chứng minh rằng: a) ( ) (a b, = a a b, + ) b) ( ) (a b, = 5a+2 ; 7b a+3b) c) ( ), ; 2 a b a b = a +    với a,b số lẻ 278(7)*. đến a,b,c số lẻ chứng minh rằng: ( , , ) , , 2 2 a b b c c a a b c =  + + +    TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA I search chữ số tận cùng Ví dụ54(2). minh chứng rằng: 102 102 8 −2 chia hết mang lại 10 Giải: Ta thấy số bao gồm tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận (vì nhân hai số bao gồm tận cùng với nhau, ta số có tận cùng 6) bởi vì ta đổi khác sau: ( ) ( ) ( ) 25 25 102 25 102 25 8 8 64 ( 6).64 4; 2 16 ( 6).4 = = = = = = = = Vậy 8102−2102 tất cả chữ số tận yêu cầu chia hết mang lại 10 Nhận xét:Để tìm kiếm chữ số tận lũy vượt ta làm cho sau: - những số tất cả tận 0; 1; 5; thổi lên lũy thừa (khác 0) tận cùng 0; 1; 5; (72)- các số bao gồm tận 3, 5, thổi lên lũy vượt số bao gồm tận bằng II Tìm hai chữ số tận cùng Ví dụ55(2). Tìm nhị số tận 100 2 Giải: chăm chú rằng: 10 2 =1024, bình phương số tất cả tận 24 tận cùng 76, số bao gồm tận 76 thổi lên lũy vượt (khác 0) tận thuộc 76 do đó: ( )10 ( )5 ( )5 100 10 10 2 = =1024 = 1024 = 76 = 76 Vậy nhị chữ số tận 100 2 76 Ví dụ56(2). Tìm hai chữ số tận 1991 7 Giải: Ta thấy: 7 =2401, số gồm tận 01 thổi lên lũy vượt tận 01 vày đó: 1991 1988 3 ( )4 497 ( )497 ( ) 7 =7 = 343= 01 343= 01 343 43.= Vậy 71991 bao gồm hai chữ số tận cung 43 Nhận xét: Để tìm nhị chữ số tận lũy thừa, bắt buộc ý tới những sốđặc biệt: - những số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy quá (khác 0) tận 01, 25, 76; - các số 320 (hoặc 2 81 ); ;51 ;99 gồm tận 01; - những số trăng tròn 4 2 ; ;18 ; 24 ; 68 ; 74 tất cả tận 76; - Số 26n(n>1) bao gồm tận 76 III Tìm bố chữ số tận trở lên phải ý số có tận 001, 376, 625 thổi lên lũy quá (khác 0) có tận 001, 376, 625 Số có tận 0625 thổi lên lũy quá (khác 0) tận 0625 Ví dụ57(20) tra cứu bốn chữ số tận 1992 5 Giải: 1992 ( )4 498 ( )498 (73)Trên tốn tìm kiếm chữ số tận lũy quá giải phương thức số học lớp Vấn đề nghiên cứu và phân tích đầy đủhơn cần sử dụng đẳng thức học tập lớp BÀI TẬP 279(4). minh chứng ( 21) 17 +24 −13 10 280(4). chứng tỏ với số tự nhiên n: a) 7 n−1 phân chia hết cho 5; b) 34n+1+2 phân tách hết mang lại 5; c) 2 n+ +3 phân chia hết đến 5; d) 2 n+ +1 phân chia hết mang lại 5; e) 92n+1+1 phân tách hết mang lại 10 281(4). tìm kiếm số tự nhiên n nhằm n10+1 phân chia hết mang đến 10 282(4). gồm tồn số tự nhiên n nhằm n2+ +n phân chia hết đến hay không? 283(2)*. đến số thoải mái và tự nhiên n chứng minh rằng: a) giả dụ n tận chữ số chẵn n 6n có chữ số tận như b) nếu n tận số lẻ khác n tận nếu như n tận chữ số chẵn không giống n4 tận c) Số n n tất cả chữ số tận 284(2). vào số thoải mái và tự nhiên từ cho 1000, bao gồm số gồm tận bằng mà viết dạng 8m+5n(m n, ∈N)? 286(2). Tìm nhì chữ số tận của: a) 51 51 ; b) 999999; c) 666 6 ; d) 14 ;101 e) 16 ;101 287(5). Tìm đôi mươi chữ số tận 100! HỆ GHI SỐ VỚI CƠ SỐ TÙY Ý (74)1 nắm hệ ghi số số k? trong hệ ghi sốcơ số k , người ta sử dụng k kí hiệu để ghi số k đơn vị chức năng trong hàng làm thành đối kháng vịở mặt hàng liền trước Số a an n−1 a a a2 hệ ghi số số k, kí hiệu a an n−1 a a a2 0( )k , hệ thập phân có mức giá trịbằng 1 ankn+an− kn− + a k +a k+a 2 Đổi số viết hệ ghi số k thành số viết hệ thập phân ngược lại Ví dụ58(2).Đổi số 1203( )5 thành số viết hệ thập phân Giải: Cách 1: ( ) 1203 =1 5. +2 5. +0 178. + = nhấn xét: Ta thấy 1 5. +2 5. +0 3. + ( ) ( ) 1 5. 5. 3. 5. 5. 3. = + + + = + +  + vì giải sau: bí quyết 2: mang chữ số hàng cao nhân với 5, cùng với chữ số bên phải nhân cùng với 5, liên tiếp phép cộng với chữ số hàng đơn vị, ta kết quả: ( )5 ( ) 1203 = 1.5+2 5+0 3 + Ví dụ 59(2). Đổi số 178 hệ thập phân thành số viết hệ ghi số số dìm xét: phân tách 178 thành nhóm, nhóm đơn vị, 35 nhóm, cịn lại dư phân tách 35 thành nhóm, nhóm solo vị, nhóm, dư lại Lại chia thành nhóm đối chọi vị, team nhóm, dư Số khơng tạo thành nhóm đơn vị Do số 1, 2, 0, (là yêu quý cuối số dư, tính từ lúc số dư cuối trở lên) chữ số từ hàng cao mang lại hàng rẻ số 178 hệ ghi sốcơ số (75)Vậy: 178 1203= ( )5 Tổng quát, mong muốn đổi số viết hệ thập chia thành số viết hệ ghi số số k, ta đem sốđó phân chia cho k, mang thương phân chia cho k, , liên tục thương nhỏhơn k yêu đương cuối chữ số từ sản phẩm cao đến hàng rẻ số yêu cầu tìm 3 các phép tính hệ ghi số số k trong hệghi số k, phép tính thực tựa như hệ thập phân, cần để ý rằng: - vào phép cộng, kết quảđược k viết lưu giữ - trong phép trừ, đơn vị chức năng hàng cao thay đổi k đơn vị hàng thấp tiếp sau Ví dụ60(2). Thực phép tính sau hệ ghi số ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 5435 +3252 ; 1245 −316 ; 214 32 ; 356 :13 Giải: (Trong giải thuật này, sốđều viết hệ ghi số8): II Hệghi số 1 cố kỉnh hệ ghi số 2? Một hai hệ ghi số xứng đáng ý hệ ghi số sô (hoặc hệ nhị phân) vào hệ ghi số tín đồ ta cần sử dụng hai kí hiệu nhằm ghi số 1, nhì hàng đơn vị chức năng hàng cao 35 178 2 7 7 25 13 x 7 4 4 3 2 -7 -7 + 10 3 (76)Giá trị số1011( )2 hệ thập phân là: ( ) 3 2 1011 =1.2 +0.2 +1.2 11.+ = Ví dụ 61(2). An bao gồm 15 viên bi đựng tứ hộp mong mỏi lấy số bi, An phải lấy số hộp bao gồm số bi định lấy, ko thừa đầy đủ viên Hỏi hộp đựng viên bi? Giải: tứ hàng từ thấp lên rất cao hệ nhị phân mặt hàng 1, hàng 2, mặt hàng 4, hàng đông đảo số từ cho 15 hệ thập phân viết hệ nhị phân có khơng q bốn chữ số, ví dụ: 15 1111 , 14 1110 , 13 1101= ( )2 = ( )2 = ( )2 , Như vậy, bốn hộp An theo thứ tự đựng 1, 2, 4, viên bi thỏa mãn nhu cầu yêu ước toán ví dụ điển hình muốn mang 14 viên bi An lựa chọn hộp chứa 8, 4, viên bi, mong mỏi lấy 13 viên bi An lựa chọn hộp cất 8, 4, viên bi 2.Các phép tính hệ nhị phân những quy tắc cùng nhân hệ nhị phân đơn giản: 0 0+ =0; 1;+ = 1;+ = 1 10;+ = 0.0=0; 0.1 0;= 1.0=0; 1.1 1.= rõ ràng ta không buộc phải thuộc “bảng cửu chương” làm cho tính hệ thập phân lấy ví dụ 62 (2) Thực phép tính sau hệ nhịphân: ( )2 ( )2 1010 +110 ; 1001( )2 −110 ;( )2 1011 101 ;( )2 ( )2 1010( )2 :11 ( )2 3 Hệ nhị phân máy tính xách tay điện tử Đối với chúng ta, thực phép tính hệ nhị phân nhiều thời gian, phép tắc tính tốn lại dễ dàng Hơn nữa, hệ ghi số cần sử dụng hai kí hiệu (là 1) cho tương xứng với nhì trạng thái khác của cái điện (là “khơng” “có”) vày hệ nhịphân sử dụng máy tính xách tay điện tử: kí hiệu gọi bit (viết tắt binary digit: chữ số nhị phân) vào hệ nhị phân, sốbất kì viết dạng dãy kí hiệu cùng 0, cịn máy vi tính điện tử sốđó thể tổ hợp tín hiệu (77)Ởmáy tính năng lượng điện tử, phép cộng ta đặt thêm cái nhớ, phép nhân ta nên dịch hàng sốbị nhân tích riêng, cơng câu hỏi đó máy tính xách tay điện tử trọn vẹn tựđộng Tuy mặt trong, máy tính xách tay điện tử thao tác làm việc với hệ nhịphân số viết dạng nhị phân lâu năm nên tín đồ ta sử dụng hệ ghi số số (hệ Octal) hệ ghi số số 16 (hệ Hexa): chữ thông số Octal tương đương với cụm cha chữ số nhịphân (3 bit), chữ số hệ Hexa tương tự với cụm tư chữ số nhị phân (4 bit) một số chữ số nhịphân gọi một bai (byte) các loại máy tính xách tay điện tử thường thao tác làm việc với bai, gồm lại cùng với bai BÀI TẬP 288 (2).Đổi số sau thành số viết hệ thập phân: a) 206 ;( )7 b) 32075 ( )8 289 (2).Đổi số: a) 141 hệ thập tạo thành số viết hệ ghi sốcơ số 4; b) 19 hệ thập chia thành số viết hệ nhị phân 290 (2). a) Đổi số 12221( )3 thành số viết hệ ghi sốcơ số mà lại không lật qua hệ thập phân b) Đổi số 758( )9 thành số viết hệ ghi số số mà lại không đảo qua hệ thập phân 291 (2). trong hệ ghi sốcơ số k ta có: a) 2( ) ( )k k =11 ?( )k b) 12 5( ) ( )k k =62( )k ? c) 21 2( ) ( )k k =112( )k ? d) 11 11( )k ( )k =121 ?( )k 292 (2). trong hệ ghi sốcơ số k thì: a) 15( )k phân chia hết cho 4( )k ? b) 75( )k phân chia hết cho 7( )k ? (78)a) 144( )5 +330 ;( )5 b) 1024( )5 −132 ;( )5 c) 124 32 ;( )5 ( )5 d) 211 :13 ( )5 ( )5 294 (2). Thực phép tính sau hệ nhịphân: a) 1011( )2 +110 ;( )2 b) 1100( )2 −101 ;( )2 c) 110 11 ;( )2 ( )2 d) 1001 :11 ( )2 ( )2 295 (2).Người ta thả sốbèo vào ao sau ngày lộc bình phủ kín đáo mặt ao Biết sau ngày diện tích bèo phủtăng vội vàng đơi Hỏi: a) Sau ngày, 6 bình phủđược nửa ao? b) Sau ngày thiết bị nhất, lục bình phủđược phần ao? 296 (2).Linh thích nghịch tem bao gồm sau gói tem, gói theo sản phẩm tự gồm 1, 2, 4, 8, 16,32 tem Hãy bệnh tỏ bạn có nhu cầu mượn Linh một vài tem từ đến 63 Linh đề nghị lấy số gói bao gồm số tem yêu cầu (mà không đề xuất mở gói ra) 297 (2). có thể dùng cân nặng đĩa bao gồm hai đĩa cân với năm cân, cân nặng để đĩa cân, để cân tất thiết bị có trọng lượng số thoải mái và tự nhiên từ kg mang lại 30 kg khơng? 298 (2).Đố vui: Đốn tháng sinh các bạn Tú viết lên bảng tứ dòng “Tháng Tươi vui”: 8, 9, 10, 11,12 “Tháng Bền bỉ”: 4, 5, 6, 7,12 “Tháng Hoạt bát”: 2, 3, 6, 7, 10,11 “Tháng to gan lớn mật mẽ”: 1, 3, 5, 7, 9,11 Một bạn cho thấy thêm sinh vào tháng bền chắc Hoạt bát, Tú khơng chú ý bảng cơ mà đốn các bạn sinh vào thời điểm tháng 6, Tú làm nào? 299 (2). đến 2 30 1 2 (79)300 (2). Theo truyền thuyết, người phát minh sáng tạo bàn cờ 64 ô bên vua Ấn Độthưởng dồn phần thưởng tùy ý Ơng xin vua thưởng cho mình: 1 phân tử thóc mang đến thứ nhất, phân tử thóc cho thứ hai, phân tử thóc mang lại thứba, 8 hạt thóc cho thứtư, và thường xuyên vậy, số hạt thóc ô gấp đôi số hạt thóc ởô trước, cho đến ô cuối Yêu cầu tưởng solo giản, kho thóc nhà vua khơng đủđểthưởng Tính số hạt thóc nhưng mà người phát minh bàn cờ yêu mong 301 (2).Đố vui: giá tiền ngựa chiến Một lái bn mừng cuống mua chiến mã với giá rẻ “chỉbằng chi phí đinh đóng móng ngựa”: chân ngựa chiến có đinh, đinh thứ có mức giá xu (1 đồng bởi 100 xu), đinh máy hai giá bán xu, đinh thứ bố giá xu, đinh thứtư giá bán xu, vậy: giá bán đinh sau gấp rất nhiều lần giá đinh trước Hãy tính giá bán tiền chiến mã theo giao ước MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Số nguyên tố phân tích từ các kỉ trước Công nguyên cho tới nhiều toán số nguyên tố không giải toàn diện I – Sàng Ơ – – sơn – xten (Eratosthene) có tác dụng để tìm kiếm tất số nguyên tố số lượng giới hạn đó, chẳng hạn từ cho 100 ? Ta làm cho sau: trước hết xóa số1 cất giữ số xóa tất cảcác mà bự (80)Giữ lại số (số bị xóa) xóa vớ cảcác cơ mà lớn các số 8, 9, 10, bị xóa Khơng bắt buộc xóa tiếp bội số bự 10 cũng tóm lại khong vừa lòng số thật vậy, giả sử n hợp số phân tách hết đến số a to 10 100, na>10 phải n cần chia hết cho số b nhỏhơn 10, n bị xóa đơn vị toán học tập cổ Hi Lạp Ơ – – tô – xten (thế kỉ III trước Công nguyên) tín đồ đưa phương pháp làm Ông viết số giấy cỏ sậy căng một khung dùi thủng thích hợp số vật tựa như sàng: vừa lòng sốđược sàng qua, số nguyên tố gìn giữ Bảng số nguyên tốđược gọi sàng Ơ – – tơ – xten Ví dụ63 (5).Dùng bảng số yếu tố nhỏhơn 100, nêu biện pháp kiểm một số nhỏ tuổi 10000 tất cả số ngun tốkhơng? Xét tốn số 259,353 Giải: Cho số nn>1) nếu n phân tách hết mang đến số k (1k n) thì nlà hòa hợp số trường hợp n khơng phân tách hết mang đến số nhân tố ( ≤ ) phường p n n số thành phần Số 259 phân tách hết hợp số Số 353 không phân tách hết mang đến tât số nguyên tố p. Mà p2 ≤353 (đó số nhân tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) cần 353 số yếu tố II – Sự phân bố sốnguyên tố Từ đến 100 bao gồm 25 số nguyên tố, trăm sản phẩm hai gồm 21 số nguyên tố, trong trăm thứ bố có 16 số ngun tố, … trong nghìn gồm 168 số ngun tố, nghìn sản phẩm hai bao gồm 145 số ngun tố, nghìn thứba bao gồm 127 số nguyên tố, … Như xa theo hàng số trường đoản cú nhiên, số nguyên tốcàng thưa dần dần Ví dụ64 (5). có tồn 1000 số từ nhiên liên tục hợp số khơng? Giải: Có gọi A=2.3.4 1001 các số A+2, A+3, , A+1001 1000 số tự nhiên và thoải mái liên tiếp ví dụ hợp số(đpcm) (81)khơng? có số ngun tố cuối khơng? từ bỏ kỉ
III trước Cơng ngun, công ty tốn học cổ Hi Lạp Ơ – clit (Euclde)đã minh chứng rằng: Tập số ngun tố vơ hạn Ví dụ65 (5)*. minh chứng khơng thể có hữu hạn số yếu tắc Giải: Giả sử bao gồm hữu hạn số nguyên tố phường p1, 2, ,pn pn số lớn số 1 số thành phần Xét số A= p. P1 pn +1 A phân chia cho số yếu tố pi (1≤ ≤i n) dư (1) còn mặt khác A hợp số (vì lơn số nguyên tố to pn) A bắt buộc chia hết mang đến số nguyên tốnào đó, tức A chia hết mang lại số (1 ) i p ≤ ≤i n (2), mâu thuẫn với (1) Vậy khơng thể có hữu hạn số nguyên tố(đpcm) Qua phân bổ số nguyên tố, bên toán học Pháp Bec – tơ – đưa dự đốn: giả dụ n>1 n 2n bao gồm số ngun tố Năm 1852, đơn vị toán học Nga Trê – bư – sép chứng tỏ mệnh đề Ơng cịn chứng tỏ được: trường hợp n>3 n 2n−2 tất cả số ngun tố Ta có mệnh đềsau: nếu n>5 n 2n bao gồm hai số ngun tố Ví dụ 66 (5)*. mang đến số thoải mái và tự nhiên n>2 chứng minh số n! −1 có một cầu nguyên tố bự n Giải: Gọi a= −n! bởi n>2 buộc phải a>1 mọi số tự nhiên lớn gồm nhất ước nguyên tố Gọi p ước thành phần a Ta chứng tỏ p>n Thật giả sử p≤n tích 1.2.3 n chia hết mang đến p, ta tất cả n! phân chia hết mang lại , nhưng mà a phân chia hết cho p. Nên phân tách hết mang lại p, vơ lí Chú ý: Từbài tốn ta suy tất cả vơ số ngun tố (82)Ví dụ 67 (5).

Xem thêm: Các Mẫu Áo Trễ Vai Dễ Thương Aloha, Áo Trễ Vai Dễ Thương

a) chứng minh số yếu tắc m lơn viết được dạng 6n+1 6n−1(n∈) b) tất cả phải số tất cả dạng 6n±1(n∈) số nguyên tố giỏi không? Giải: a) mỗi số tự nhên phân chia cho có số dư 0, 1, 2, 3, 4, vì chưng số tự nhiên và thoải mái viết số dạng 6n−2, 6n−1, , 6n n+1, 6n+2, 6n+3 vị m số nhân tố lớn bắt buộc m không phân tách hết mang lại 2, khơng phân chia hết cho 3, m khơng gồm dạng 6n−2, , 6n n+2, 6n+3 Vậy m viết dạng 6n+1 6n−1 (Ví dụ: 17=6.3 1, 19− =6.3 1+ ) b) không phải số gồm dạng 6n±1 (n∈) số nguyên tố chẳng hạn 6.4 25+ = không số nguyên tố(đpcm) Liệu gồm cơng thức mà với mức giá trị thoải mái và tự nhiên chữ mang đến ta số yếu tắc không? cho tới nay, tín đồ ta chưa tìm thấy cơng thức như tuy vậy có số biểu thức mà với rất nhiều giá trị chữ, biểu thức cho ta số yếu tắc Biểu thức 2n +29 đến giá trị thành phần với n=0, 1, 2, , 28 Biểu thức 41 n + +n Ơ – le (Euler 1707 – 1783) đưa có mức giá trị yếu tắc với n=0, 1, 2, ,39 (còn cùng với n=40 402+40 41 40 40 41+ = ( + )+41 chia hết cho 41) Biểu thức 79 1601 n − n+ mang lại giá trị thành phần với n=0, 1, 2, , 79 (cịn với n=80 biểu thức 412) Số Phec – ma công ty toán học tập kiêm biện pháp gia Pháp Phéc – ma (Pierre de Fermat 1601 – 1665) xét biểu thức 2m+1 m=2n với n=0, 1, 2, 3, 4, đến số nguyên tố 3,+ = 2 + =1 5, 2 + =1 7, 2 + =1 257, 216+ =1 65537 cùng với n=5, số 32 2 + =1 4294967297, Phec – ma mang đến số ngun tốvà ơng chuyển giả thuyết: Biểu thức 2m+1 cùng với m lũy thừa mang đến ta số thành phần Ý kiến tại vị lâu Mãi đến năm 1732, Ơ – le bác bỏ mang thuyết biện pháp số 32 2 +1 chia hết cho 641 Đây lấy ví dụ như (83)Các số dạng 2m+1 cùng với m lũy thừa điện thoại tư vấn số Phéc – ma IV – màn biểu diễn sốdưới dạng tổng sốnguyên tố Năm 1742 bên tốn học tập Đức Gơn – bách viết thư báo cho Ơ – le biết ông mạo hiểm gửi toán: phần đông số tự nhiên và thoải mái lơn màn trình diễn dạng tổng ba số nguyên tố. Ơ – le vấn đáp theo ông, phần lớn số chẵn bự trình diễn dạng tổng nhị số nhân tố Nếu chứng minh hai mệnh đề chứng tỏ mệnh đề cịn lại vào 200 năm, đơn vị toán học tập giới khơng giải tốn Gơn – bách – Ơ – le Đến năm 1937, công ty toán học Liên Xô Vi – nô – gra – đốp giải toàn diện tốn cách chứng minh rằng: số đông số lẻ đầy đủ lớn màn trình diễn dạng tổng bố số ngun tố cho tới nay, tốn Gơn – bách – Ơ – le chưa chứng minh hồn tồn Ví dụ 68 (5). Cơng nhận mệnh đề nói Ơ – le, chứng tỏ tốn Gơn – bách Giải: Cho số tự nhiên và thoải mái n>5, ta chứng tỏ n viết dạng tổng bố số nguyên tố Xét hai trường hợp: a) ví như n chẵn n= +2 m cùng với m chẵn, m>3 b) nếu như n lẻ n= +3 m với m chẵn, m>2 Theo mệnh đề Ơ – le, m chẵn, m>2 cần mviết dạng tổng nhì số nguyên tố bởi n viết dạng tổng ba số yếu tố BÀI TẬP 302 (5). tìm kiếm 10 số thoải mái và tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số thành phần 303 (5). minh chứng số nguyên tố bự viết dạng 4n+1 4n+3(n∈) 304 (5). mang đến biểu thức p. N= + Xét xem với p 3, 5, 7, n số (84)305 (5). Số dạng M =2n−1 gọi số Mec – xen (Mersenne, nhà toán học kiêm cha cố Pháp kỉ XVII) Xét xem với n 2, 3, 5, 7,11 M số yếu tắc hay thích hợp số? 306 (5). Viết số chẵn từ 20 đến 30 dạng tổng nhị số nguyên tố 307 (5). a) Viết số 7, 8, 9,10 thành tổng nhì số nguyên tố to hơn b)* chứng minh số thoải mái và tự nhiên n lớn màn biểu diễn dạng tổng nhị số nguyên tố béo (Hướng dẫn: Xét nhị trường hòa hợp n lẻ n chẵn) CÁC VẤN ĐỀNÂNG CAO VỀTÍNH phân chia HẾT, ƯỚC VÀ BỘI I – dấu hiệu chia hết mang lại 11 đến A= a a a a a a5 ( ) ( ) 11 11 A ⇔ a +a +a + − a +a +a +  hội chứng minh: ( ) ( ) 0 10 10 10 10 10 A= a + a + a + + a + a + a + để ý rằng: 10 =99 1,+ 104 =999 1, ,+ tổng quát: 2 10 k = bội 11 1,+ 10 11 1,= − 10 =1001 1,− 105 =100001 1, ,− tổng thể 10 k+ = bội 11 1.− vì chưng đó: A= (bội 11+a0+a2+a4+ ) + (bội 1 11− − − −a a a ) = bội 11+(a0+ + +a2 a4 ) (− a1+ + +a3 a5 ) Như điều kiện cần đủ nhằm số phân tách hết mang lại 11 là: tổng chữ số sản phẩm lẻ tổng chữ số mặt hàng chẵn sốđó có hiệu chia hết mang đến 11 Ví dụ 69 (4). vận dụng dấu hiệu phân tách hết mang đến 11 nhằm tìm chữ số x y cho: 62 427 A= xy chia hết cho 99 (85)Tổng chữ số sản phẩm lẻ A (từ nên sang trái) 4+ + +x tuyệt x+17 Tổng chữ số sản phẩm chẵn A (từ cần sang trái) 2+ +y tốt y+4 Tổng chữ số A x+ +y 21 ( ) ( ) 11 17 11 13 11 A x y x y ⇔ + − + ⇔ + −    vì chưng đó: x– = 9y (nếu x>y ) y–x=2 (nếu y>x ) 21 6;15 A ⇔ + +x y  ⇔ + ∈x y Trường đúng theo x–y=9 cho ta x=9,y=0 khi đó x+ =y (loại) Trường vừa lòng y–x=2 y x+ phải chẵn đề nghị y+ =x Ta được: 6 2; 2 x= − = y= + = Đáp số:x=2, 4y= ; 6224427 A= II – con số ước số (*) trường hợp dạng so với thừa số yếu tố số tự nhiên và thoải mái A a b cx y z … con số ước A (x+1)(y+1)(z+1) … Thật ước A số có dạng mnp…trong đó: m có x+1 cách chọn (là 1, , , ,a a … ax) n tất cả y+1 biện pháp chọn (là1, , , ,b b2 … by) p. Có z+1 bí quyết chọn (là1, , , ,c c2 … cz),… bởi đó, con số ước A (x+1)(y+1)(z+1) Ví dụ 70(6).Tìm số nhỏ tuổi có 12 cầu Giải: phân tích số phải tìm vượt số nguyên tố: x y z (86)Số 12 gồm bốn phương pháp viết thành tựu hay các thừa số bự 12, 6.2, 4.3, 3.2.2 Xét ngôi trường hợp: a) n cất thừa số thành phần : khi x+ =1 12 nên x=11 lựa chọn thừa số nguyên tố bé dại 2, ta bao gồm số nhỏ trường hòa hợp 211 b) n chứa hai thừa số nguyên tố: lúc (x+1)(y+ =1) 6.2 (x+1)(y+ =1) 4.3 , x=5, 1y= x=3, 2y= Để n bé dại ta chọn thừa số nguyên tố nhỏ dại ứng với số mũ lớn, ta gồm 2 96 n= = hoặcn=2 33 =72 Số nhỏ dại nhất trường hòa hợp 72 c) n chứa cha thừa số nguyên tố: khi (x+1)(y+1)(z+ =1) 3.2.2 đề nghị 2, x= y= =z Số bé dại trường vừa lòng là2 3.52 =60 so sánh ba số 11 2 , 72, 60 tía trường hợp, ta thấy số nhỏ dại có 12 ước số 60 III – Toán chia hết tương quan đến số ngun tố, ƯCLN, BCNN Ngồi tính chất nêu §3, với kiến thức và kỹ năng số nguyên tố, số nhân tố nhau, ƯCLN, BCNN, ta tất cả thêm số đặc điểm chia không còn : 1) trường hợp tích chia hết mang lại số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết chop Hệ quả: nếu n a phân tách hết mang đến số nguyên tố p. A phân chia hết cho p 2) ví như tích ab chia hết đến m b m nhì số yếu tố nhau a phân tách hết đến m thiệt vậy, đối chiếu m thừa số nhân tố : 1 1 (1) n k k k n m=a a a bởi ab phân tách hết đến m cần ab đựng tất quá số yếu tắc a a1, 2, an cùng với số mũ khủng số mũ thừa số yếu tố (1) nhưng b cùng mnguyên tố nên b không chứa thừa số nhân tố thừa số a a1, 2, an vị a cất tất quá số a a1, 2, an với số mũ to hoặc số mũ thừa số nguyên tố (1) tức a phân tách hết mang lại m (87)Thật vậy, a chia hết mang lại m n đề xuất a bội thông thường m n a phân tách hết mang lại BCNN m n( , ) Hệ quả: nếu a chia hết mang đến hai số nguyên tố m n a phân chia hết mang lại tíchmn những tính chất hỗ trợ thêm luật pháp để chứng tỏ quan hệ chia hết số Ví dụ 71(7):Tìm số tự nhiên n mang đến 18n+3 phân chia hết đến Giải :Cách ( ) 18 14 4 4 7 4 4 n n n n n n n + ⇔ + + ⇔ + ⇔ + − ⇔ − ⇔ −       Ta lại có ( )4, =1 cần n−1 7 Vậy n=7k+1 (k∈) phương pháp 2. ( ) 18 18 21 18 18 18 n n n n + ⇔ + − ⇔ − ⇔ −     Ta lại có (18, 7)=1 đề xuất n– 7 Vậy n=7k+1 (k∈) dìm xét: bài toán thêm giảm bội hai giải pháp giải nhằm mục đích đến biểu thức chia hết mang đến mà ởđó hệ số n Ví dụ72(5): Tìm số thoải mái và tự nhiên có cha chữ sốnhư nhau, biết sốđó viết dạng tổng số tự nhiên liên tiếp (88)Ta có: 111 n.(n ) a + = , đó: ( ) 1 37 n n+ = . a vày n n( +1) phân chia hết đến số nhân tố 37 buộc phải tồn nhị thừa số n, n+ chia hết mang lại 37 chú ý n n+1 nhỏhơn 74 (vì n.(n+ ) số có bố chữ số) đề nghị ta xét nhì trường hợp: a) n=37 37 38 703 2 n.(n+ )= . = , các loại b) n+ =1 37 36.37 666 2 = , vừa lòng tốn Vậy số đề nghị tìm 666, viết dạng 3+ + +…+36 Ví dụ 37 (7) Cho biết a+4b phân tách hết mang lại 13, (a, b∈) minh chứng 10a b+ chia hết cho 13 Giải:Đặt a+4b=x; a10 + =b y Ta biết x13 , ta cần minh chứng y13 phương pháp 1: Xét biểu thức: ( ) ( ) 10x – y=10 a+4b – 10a b+ =10a+40 10 a – b− =39b Như vậy, 10x – y13. Vì x13 buộc phải 10 13x  Suy y 13 phương pháp 2: Xét biểu thức: ( ) ( ) 4y – x=4 10a b – a+ +4b =40a+4b a – b− =39a. Như 4y – x 13. Do x 13 bắt buộc 13y  Ta lại sở hữu (4 13, )=1 yêu cầu y 13 cách 3: Xét biểu thức: ( ) ( ) 3x+ =y a+4b a b+ 10 + =3a+12b+10a b+ =13a+13b. Như 3x + y13. (89)( ) 9 10 90 91 18 x+ y= +a b+ a b+ = +a b+ a+ b= a+ b. Như x y+ 13 vày x 13 nên9y 13 Ta lại có (9 13, )=1 buộc phải y13 Nhận xét: Trong phương pháp giải trên, ta đưa biểu thức cơ mà sau rút gọn bao gồm số hạng bội 13, số hạng trang bị hai (nếu có) bội 13 thông số a x 1, hệ số a y 10 bắt buộc xét biểu thức 10x – y nhằm mục tiêu khử a (tức tạo nên hệ số a 0), xét biểu thức 3x+y nhằm mục tiêu tạo hệ số của a 13 hệ số b x 4, thông số b y buộc phải xét biểu thức 4y – x nhằm mục tiêu khử b, xét biểu thức x+9y nhằm tạo hệ số b 13 Ví dụ 74 (7) Cho số tự nhiên và thoải mái chia không còn cho bao gồm sáu chữ số chứng tỏ chuyển chữ số tận lên đầu tiên, ta số phân chia hết mang đến Giải: call số phân chia hết đến cho X =abc deg, ta cần minh chứng Y =gabc dechia hết cho Đặtabc de=nthì X =10n+g , Y =100000g n+ giải pháp 1: cùng với dụng ý có tác dụng xuất 21n bội 7, ta xét 2X + =Y 20n+2g+100000g+ =n 21n+100002g Biểu thức phân tách hết đến 21 100002 bội 7, cơ mà 2X phân tách hết mang lại 7, Y phân tách hết cho biện pháp 2: Với chủ tâm khử n , ta xét10 Y – X =1000000g+10n –10n – g=999999y , bội Ta lại có X chia hết mang lại suy 10Y phân tách hết cho 7, nhưng (10 7, )=1 cần Y chia hết cho những cách khác: Xét 3Y – X nhằm xuất 7n , xét X +4Y để xuất 14n , … Ví dụ 75 (7) Tìm số từ nhiên, biết tích cùng với số thoải mái và tự nhiên liền sau bao gồm tận 00 (90)a) gồm thừa số n, n+1 chia hết cho 100: lúc n số bao gồm tận 00 99 b) Khơng tất cả thừa số phân tách hết mang lại 100: chăm chú (n,n+ =1) đề xuất n n+1 bao gồm số phân tách hết mang lại 25, số chia hết cho gồm hai khảnăng: giả dụ n phân tách hết đến 25, n+1 phân chia hết đến xét n có tận 25, 50, 75, chọn n tất cả tận 75 nhằm n+1 chia hết cho Nếu n+1 phân chia hết mang đến 25, cịn n phân chia hết cho xét n+1 tất cả tận 25, 50, 75 chọn n+1 gồm tận 25 để n chia hết cho Vậy số thoải mái và tự nhiên phải kiếm tìm số có tận 00, 99, 75, 24 Ví dụ76(8) Thêm cha chữ sốvào phía sau số523 để số phân tách hết đến số 6; 7; 8; Giải: Số đề nghị tìm 523*** phân tách hết cho 6; 7; 8; cần phải phân chia hết mang đến 504 (6 9) BCNN ; ; ; . Xét số523999 phân chia cho 504 dư 343 vì chưng ta có số: 523999 343 523656 523656 504 523152 – , – . = = Đó nhị số đề xuất tìm Ví dụ 77 (8) chứng minh p số nguyên tố lớn (p –1)(p+1) phân tách hết mang đến 24 Giải Ta có (p –1) (p p+1 3) mà ( )p,3 =1 bắt buộc (p –1)(p+1 3) (1) p. Số nguyên tố khủng nên p số lẻ, phường –1 p+1 nhì số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, bao gồm số bội nên tích chúng chia hết mang lại (2) trường đoản cú (1) (2) suy (p –1)(p+1) chia hết đến hai số nguyên tố cùng Vậy (p –1) (p p+1 24) (91)Ví dụ78(8). tìm số trường đoản cú nhiên nhỏ dại chia mang lại dư 1, chia cho dư Giải: Gọi n sốchia mang lại dư 1, chia cho dư cách 1 bởi n khơng phân tách hết mang đến 35 phải n bao gồm dạng 35k+r k ,r( ∈,r), r chia dư 1, chia dư Số nhỏhơn 35 phân chia cho dư 5, 12, 19, 26, 33, gồm 26 phân chia cho 5 dư Vậyr=26 Số bé dại có dạng 35k+26 26 bí quyết Ta bao gồm n−1 5 ⇒ − +n 10 5 ⇒ +n 5 (1) Ta gồm n –5 7 ⇒ − +n 14 7 ⇒ +n 7 (2) từ (1) (2) suy n+9 35 Số n bé dại có đặc thù n=26 biện pháp 3: n=5x+ =1 7y+ ⇒5 5x=5y+2y+ ⇒4 2(y+2)5⇒ +y 5 giá trị nhỏ dại y 3, giá chỉ trị bé dại n 5. + =26 Ví dụ79(8)*. tìm kiếm số tự nhiên n bao gồm bốn chũ số cho phân chia n đến 131 dư 112, chia n cho 132 dư 98 Giải: Cách 1: Ta bao gồm 131x+112=132y+98⇒ ( ) ( ) 131 131 14 14 131 131 14 132 131 14 98 132 131 1946 x y y y y k k n . K . K ⇒ = + − ⇒ − ⇒ ⇒ = + ∈ ⇒ = + + = +   bởi n có bốn chữ số cần k =0, n=1946 bí quyết 2: tự 131x=131y+ −y 14 suy ( ) 131 x−y = −y 14 trường hợp x> y y−14≥131⇒ ≥y 145⇒n có tương đối nhiều bốn chữ số Vậy x= y, y=14, n=1946 giải pháp 3: Ta bao gồm n=131x+112 đề nghị 132n=131 132+ x+14784 (1) (92) trường đoản cú (1) (2) suy 132n−131n=131 132. (x−y)+1946 ( ) 131 132 1946 n . X y ⇒ = − + vì n bao gồm bốn chữ số phải n=1946 V – những toán vềƯCLN, BCNN 1) Tìm nhì số biết ƯCLN chúng Ví dụ 80(7) Tìm nhị số tự nhiên, biết tổng chúng 84, UCLN của chúng 6. Giải: điện thoại tư vấn hai số bắt buộc timg avà b (a≤b) Ta teo ( )a b, =6 buộc phải " 6 , a= a " 6 b= b ( " ") , a b = (a b a b, , ," "∈N) bởi vì a b+ =84nên ( " ") 6 a +b =84suy " " 14 a + =b lựa chọn cặp số " " , a bnguyên tố có tổng 14(a" ≤b"), ta được: lấy ví dụ 81(7) Tìm hai số tựnhiên bao gồm tích 300, UCLN Giải: hotline hai số buộc phải tìm a b (a≤b) Ta gồm ( )a b, =5nên " " 5 , a= a b= btrong (a b", ")=1 bởi vì ab=300nên " " 25a b =300 suy a b" "=12=4.3 lựa chọn cặp số " " , a b nguyên tốcùng bao gồm tích ( " ") 12 a b ta được: " a " b 13 11 a 18 30 b 78 66 54 a 15 b 60 đôi mươi " a " (93) 2) các toán phối kết hợp BCNN số với UCLN chúng Ví dụ82(8). cho a=1980,b=2100 a) tìm kiếm ( )a b, < >a b, b) so sánh < >a b, ( )a b, cùng với ab chứng minh nhận xét hai số tự nhiên avà b khác 0tùy ý Giải a) 2 2 1980=2 5.11, 2100=2 3.5 ( ) 1980, 2100 3.5 60, UCNLN = = ( ) 2 1980, 2100 7.11 69300 BCNN = = b) <1980, 2100 1980, 2100>( )=1980.2100( 4158000) Ta chứng minh rằng < >a b, ( )a b, =a b giải pháp Trong cách giải này, thừa sốriêng coi thừa số chung, ví dụ điển hình achứa quá số 11,bkhông cất thừa số11 coi bchừa quá số11 với sốmũ Với giải pháp viết này, ví dụtrên ta có: 2 1980=2 5.7 11 2 2100=2 3.5 7.11 (1980, 2100)là tích thừa số phổ biến với số mũ nhỏ dại 2 5.7 112 0 =60 <1980, 2100> tích quá số tầm thường với sốmũ bự 2 7.112 2 =69300. Bây ta minh chứng trường phù hợp tổng quát: < >a b, ( )a b, =a b ( )1 Khi so với thừa số nguyên tố, thừa số nguyên tố nhị vế ( )1 bao gồm thừa số nguyên tố gồm avà b Ta minh chứng hai vế cất (94)Gọi plà thừa số thành phần tùy ý vượt số nguyên tốnhư trả sử số mũ ptrong a x,số mũ p. Blà ytrong xvà ycó thể Khơng tính tổng quát, mang sử x≥ y lúc vế yêu cầu (1) chứa p. Với s nón x+y Còn vếtrái, $$ chứa phường với sốmũ y bắt buộc vếtrái chứa phường với sốmũ x+y giải pháp Gọi d =( , )a b a=da b, =db′(1), ( , )a b =1 Đặt ab m d = ( )2 , ta cần chứng minh < >a b, =m Để chứng tỏ điều này, cần chứng tỏ tồn số thoải mái và tự nhiên x, y mang đến m=ax, m=byvà (x, y) = thiệt từ (1) (2) suy " .b m a ab d = = , " .a m b bố d = = bởi đó, ta lựa chọn " " , , x=b y=a ( )x y, =1 (a b", ")=1 Vậy ab < >a b, , d = tức < >a b, ( )a b, =ab Ví dụ 83(8). Tìm nhì số tự nhiên và thoải mái biết UCLN bọn chúng 10, BCNN của bọn chúng 900 Giải : gọi số yêu cầu tìm a b, giả sử a≤b Ta tất cả ( , )a b =10 nên a=10a", " 10 b = b , " " ( , )a b =1,a′≤b vày ab=100 " "(1)a b mặt khác < >, ( , ) 900.10 9000(2) ab= a b a b = = từ bỏ (1) (2) suy a b" "=90 Ta gồm trường vừa lòng : " a " (95)a 10 đôi mươi 50 90 b 90 0 45 18 10 3) kiếm tìm UCLN nhì sốbằng thuật tốn Ơ – clit Ví dụ84(7). mang đến hai số tự nhiên và thoải mái a b a( >b) a) minh chứng a phân tách hết mang đến b ( , )a b =b b) chứng tỏ a khơng chia hết mang lại b ƯCLN hai số ƯCLN số nhỏ tuổi sốdư phép phân tách số phệ cho số nhỏ tuổi c) cần sử dụng nhận xét để tìm UCLN(72, 6).B Giải : a) rất nhiều ước tầm thường a b hiển nhiên ước b Đảo lại, a phân chia hết đến b yêu cầu b ước chung a b Vậy ( , )a b =b d) hotline $r$ số dư phép phân chia a mang đến b a( >b) Ta có a=bk+r k( ∈N), đề nghị chứng ( , )a b =( , ).b r thật vậy, a b phân tách hết cho d r phân chia hết mang lại d, ước bình thường a b ước thông thường b r(1) Đảo lại b r phân tách hết đến d a phân chia hết mang lại d, ước phổ biến b r ước chung a b(2) tự (1) (2) suy tập hòa hợp ước tầm thường a b tập hòa hợp ước phổ biến b r bởi vì hai số lớn hai tập hợp nhau, tức ( , )a b =( , ).b r c) 72chia 56 dư 16 bắt buộc (72, 56)=(56,16) ; 56chia 16 dư đề xuất (56,16)=(16,8) ; 16chia không còn (16,8)=8 Vậy (72, 56)=8 (96)trinhg kết thức cùng với số dư 0) Theo chứng minh ví dụ ta tất cả ( ) ( ) (a b, = b r, = r r1, 2)= (rn−1,rn)=rnvì rn−1 phân chia hết chp rn Như UCLN a b( , ) số phân tách cuối hàng phép chia liên tiếp a cho b, b đến r r1, 1 cho r2, , r r1, , 2 sốdư phép phân tách theo lắp thêm tự bên trên Trong thực hành = ta đặt tính sau : vấn đề thực dãy phép chia tiếp tục gọi thuật tốn Ơ clit Trường hợp tìm ƯCLN ba số, ta search ƯCLN nhì số search UCLN kết cùng với số thứba Ví dụ 85(7). tìm UCLN A B( , ), biết A số tất cả $1991$ chữ số 2, B số bao gồm $8# chữ số Giải: Ta tất cả $1991$ phân chia cho dư 7, cịn phân tách cho dư Theo thuật toán Ơ- clit : ( , )A B =(22 2, 22 2)=(22 222 2n )==(22…2, 2) =2$ Ví dụ 86(8)*. Tìm nhị số, biết bội chung nhỏ ước chung khủng chúng tất cả tổng 19 Giải : điện thoại tư vấn a b nhì số đề xuất tìm, d UCLN a b( , ) ( ) ( ) " " " " , , a d a UCLN a b d b d b a b  =  = ⇔ =  =  4) nhì số nhân tố Ví dụ87(7). minh chứng rằng: a) hai số trường đoản cú nhiên thường xuyên (khác 0) nhị số nhân tố b) nhị số lẻ liên tục hai số thành phần c) 2n+1 3n+1(n∈ Ν) hai số nguyên tố (97)a) a a b+ b) a a b+ ; c) ab a b+ Ví dụ 89(7). tra cứu số tự nhiên và thoải mái n để số 9n+24 3n+4 số nguyên tố thuộc 5) tìm kiếm ƯCLN biểu thức số Ví dụ90(7).Tìm ƯCLN 2n−1 9n+4(n∈) Ví dụ91(7)*.Tìm ƯCLN ( 1) 2 n n+ 2n+1( *) n∈ BÀI TẬP 308(4).a) tra cứu chữ số a nhằm 9 8 58 laàn a a a  a  phân chia hết cho 11 b) tìm kiếm chữ số a b c d, , , *, mang đến 0 5482 * abcd +abcd = 309(4). thay dấu * chữ số tương thích để: a) 53* chia hết mang đến 11; b) 859*4 chia hết cho 11; c) 81*372 chia hết mang đến 11; d) *1994* chia hết mang đến 88; e) *1994* phân tách hết mang lại 99 310(4). chứng tỏ số 192021…7980 (viết thường xuyên số tự nhiên từ 19 cho 80) phân tách hết cho phân chia hết mang đến 11 311(4).Cho số tự nhiên và thoải mái chia hết mang đến 11 có bốn chữ số không giống khác minh chứng đổi địa điểm chữ số nhằm bảy số phân chia hết đến 11 312(6). đến 13 17 13 17 (98)313(6).Tìm số thoải mái và tự nhiên n gồm 48 ước, biết n so với thừa số ngun tố tất cả dạng 3x y x+ =y 12 314(6). kiếm tìm số thoải mái và tự nhiên A, biết rằng: A phân chia hết mang lại 5, phân chia hết đến 49 tất cả 10 mong 315(6).Tìm số từ nhiên nhỏ dại có ước 316(6).Tìm số từ bỏ nhiên bé dại có: a) 10 ước; b) 21 ước; c) mong 317(6)*. tra cứu số thoải mái và tự nhiên khác nhỏ 60 có tương đối nhiều ước 318(6). Số n tất cả tổng ước 2n điện thoại tư vấn số hoàn hảo (hoặc trả hảo, trả toàn, hoàn thiện) a) minh chứng số 28 số hoàn hảo b) chứng tỏ n số hồn chỉnh tổng nghịch đảo ước n 2 c) tra cứu số hồn chỉnh n biết dạng so sánh n thừa số nhân tố ; n= p. N=22p; n=24p với phường số nguyên tố phệ 319(6).Tìm tổng mong số 220 284 khơngkể số 320(6).Số tự nhiên và thoải mái n gồm 54 ước chứng tỏ tích mong n n27 321(6)*. Số thoải mái và tự nhiên n bao gồm 39 ước chứng tỏ rằng: a) n số bình phương số tự nhiên và thoải mái a; b) Tích mong n bằnga39 322(8). mang đến a số nguyên tố lớn chứng minh (a−1)(a+4) phân chia hết cho (99)b) ƯCLN nhị số tự nhiên 16, số lớn 96 tìm kiếm số nhỏ tuổi 326(7).Tìm hai số thoải mái và tự nhiên biết rằng: a) Hiệu chúng 84, ƯCLN 28, số khoảng tầm từ 300 đến 440 b) Hiệu chúng 48, ƯCLN 12 327(7).Tìm nhì số trường đoản cú nhiên: a) bao gồm tích 720, ƯCLN b) tất cả tích 4050, ƯCLN 328(8).Tìm nhì số tự nhiên: a) gồm tích 2700, BCNN 900 b) gồm tích 9000, BCNN 900 329(8).BCNN số tự nhiên và thoải mái 770, mốt số 14 tra cứu số Tìm nhị số tự nhiên a b (bài 330, 331, 332), biết rằng: 330(8). a) ab=360, < >a b, =60 b) ( )a b, =12, < >a b, =72 c) ( )a b, =6, < >a b, =180 d) ( )a b, =15, < >a b, =2100( )a b, e) ab=180, < >a b, =20( )a b, 331(8)*. a) < >a b, +( )a b, =55; b) < >a b, −( )a b, =5; c) < >a b, +( )a b, =35 (100)Đến năm 2010, số tuổi thời gian sinh Hoàng bao gồm BCNN vội 133 lần ƯCLN Tính năm sinh Hồng 334(8)* Tìm số thoải mái và tự nhiên có ƯCLN 12, biết rằng: hai số ấy, ƯCLN chúng, BCNN chúng tứ số khác bao gồm hai chữ số 335(8) Cho a=123456789, b=987654321 minh chứng rằng: a) ( , )a b =9; b)* < >a b, phân tách cho 11 dư 336(7) search ƯCLN số sau thuật toán Ơ-clit: a) (187231,165148 ;) b)   100 chữ số chữ số ( 11 , 11 ).  337(7). a) tìm kiếm ƯCLN vớ số tự nhiên có chín chữ số, có chữ số từ mang đến b) tìm ƯCLN tất số tự nhiên và thoải mái có sáu chữ số, tất cả chữ số từ mang đến 6 338(7) chứng minh với số tự nhiên và thoải mái n, số sau hai số nhân tố nhau: a) 7n+10 5n+7; b) 2n+3 4n+8 339(7) Cho a b nhì số nguyên tố chứng minh số sau cũng nhị số nguyên tố nhau: a) b a b− (a>b); b) 2 a +b ab 340(7) chứng minh số c yếu tố với a với b c nguyên tố với tích ab (101)b) 5n+1 phân chia hết cho 7; c) 25n+3 phân chia hết mang lại 53 342(7) search số tự nhiên và thoải mái n để số sau nhân tố nhau: a) 4n+3 2n+3; b) 7n+13 2n+4; c) 9n+24 3n+4; d) 18n+3 21n+7 343(7) minh chứng có vơ số số thoải mái và tự nhiên n để n+15 n+72 hai số nhân tố 344(7) kiếm tìm ƯCLN : a) nhì số chẵn khác thường xuyên ; b) ab ba+ 33 345(7). cho ( )a b, =1 search : a) (a b a b+ , − ) b) (7a+9 ,3b a+8b) 346(7) kiếm tìm ƯCLN của 7n+3 8n−1 (n∈*) Khi nhì số thành phần ? tra cứu n khoảng chừng từ 40 đến 90 để bọn chúng không nhân tố 347(7) mang lại số tự nhiên chia hết cho có ba chữ số chữ số hàng chục chữ sốhàng đối chọi vị chứng tỏ tổng chữ số phân chia hết đến 348(7). cho biết thêm 3a+2b phân chia hết mang đến 17 (a b, ∈) chứng minh 10a b+ chia hết mang lại 17 349(7) mang lại biết a−5b phân chia hết mang lại 17 (a b, ∈) chứng minh 10a b+ phân chia hết cho 17 (102)b) chứng minh rằng: giả dụ 2x+3y phân chia hết mang đến 17 9x+5y chia hết mang lại 17 (x y, ∈) Điều ngược lại có khơng? 351(7). cho số tự nhiên và thoải mái chia hết mang lại 37 có ba chữ số triệu chứng minh bằng cách hốn vịvịng xung quanh chữ sốta hai số phân chia hết cho 37 352(7) Cho số thoải mái và tự nhiên chia không còn cho có sáu chữ số chứng tỏ chuyển chữ sốđầu xuống cuối cùng, ta số phân tách hết cho 353(7). cho số abcdeg phân chia hết mang lại 37 chứng minh rằng: a) các số thu hốn vị vịng xung quanh chữ số cho phân tách hết đến 37 b) nếu đổi khu vực a d , ta số phân tách hết cho 37 Cịn bao gồm thểđổi vị trí hai chữ số cho mà số chia hết đến 37? 354(7) Điền vào lốt * chữ số phù hợp để: a) 77∗ chia hết mang đến 13 b) 43 5∗ ∗ chia hết mang lại 1375 c) 579∗∗∗ chia hết đến 5, ,9 355(7) Điền chữ số thích hợp vào chữđể : a) aba phân chia hết mang lại 33; b)ab ba+ phân tách hết mang đến 7; c) ab ba+ phân tách hết cho 15 356(7) a) tìm kiếm x∈∗ để11.2x phân chia hết đến 2x−1 b) kiếm tìm x y, ∈∗ nhằm 154x=(4x+1)y 357(8) Tìm số tự nhiên nhỏ dại gồm tồn chữ số cho phân chia hết mang lại số tất cả 100 chữ số 358(8). mang đến số A=10101 0101 có n chữ số (chữ sốđầu cuối 1, chữ (103)359(7) tra cứu số tự nhiên x, biết bố số 36, 45, x sốnào ước tích nhị số 360(7). Số 5135 phân chia hết đến 13, hiệu 135 130− = phân tách hết cho 13 Số 25146 chia hết cho 11, hiệu 146−25=121 chia hết đến 11 Số 45759 phân chia hết cho 7, hiệu 759−45=714 chia hết mang đến Hãy phát biểu thành tốn chứng minh tốn 361(7). Số 4564 phân chia hết đến 7, hiệu 456−4.2=448, hiệu 44 8.2− =28 phân chia hết mang lại Số 4011 phân tách hết cho 7, hiệu 401 1.2− =399, hiệu 39 9.2− =21 chia hết mang đến Hãy tuyên bố thành tốn chứng tỏ tốn 362(7). chứng tỏ dấu hiệu phân tách hết đến số abcdeg 3 g+ +e d− −c b− a phân chia hết mang đến (ví dụ số 45759 chia hết mang lại vì: 9.1 5.3 7.2 5.1 4.3+ + − − =21 phân chia hết mang đến 7) 363(8). tìm số thoải mái và tự nhiên n gồm hai chữ số mang lại 2n bình phương số tự nhiên, 3n lập phương số tự nhiên 364(8). kiếm tìm số thoải mái và tự nhiên n nhỏ khác 0, cho: n phân tách cho bình phương số từ bỏ nhiên; n chia cho lập phương số tự nhiên; n phân tách cho lũy quá bậc năm số tự nhiên 365(7). Tìm nhị số từ bỏ nhiên liên tục có nhì chữ số, biết số chia hết cho 4, số phân tách hết mang đến 25 366(7) tra cứu số tự nhiên và thoải mái có nhì chữ số, mang lại bình phương tận cùng hai chữ sốấy theo đồ vật tự 367(7) Tìm nhị số trường đoản cú nhiên liên tục có ba chữ số, biết số chia hết cho 125, số phân tách hết cho 368(7). Tìm nhì số từ bỏ nhiên liên tiếp có tích số có sáu c